一．前言

    在“混沌”理论中，有如下描述：“混沌吸引子具有内部精细的结构——分形”。“一个组成部分以某种方式与整体相似的体系就叫分形”。“一个分形对象的最基本特征是具有尺度不变性或自相似性”。

    “波浪”理论有如下描述：股票市场指数的多种运动模式，在形态上不断重复，依次相连形成大一级的“相同模式”。艾略特定义了九个浪级的波浪，各个浪级具有相同的模式。一个浪级既嵌套在大一级的波浪之中，它本身也包容了次一级的多个完整循环波浪。

    对比混沌理论和波浪理论，是否可以得出这样的观点：股票市场可被看作是一个混沌系统，而艾略特的波浪理论实际上已经提出了这个发现。

    但是，如果要下结论说股票市场就是混沌系统，还是缺少数学上的证明。关于股票市场所从属的经济学系统，国内外已有人尝试用混沌理论来研究和解决问题。经济系统是否属于混沌系统也是没有定论。混沌的产生有几个必要条件：系统是开放的、非线性的、非平衡的。股票市场也具备这几个特征。由此我们说股票市场指数的运行表象可能是类似混沌的。本文所做的也只是对比性的解释工作。

    二．混沌理论简介

    1．混沌的定义

    以下是关于混沌定义的几种描述，侧重点虽有不同，但描述的都是同一种现象。

    （1）“定义混沌来源于确定性方程的无规律运动。”

    （2）“混沌运动的研究主要涉及不带任何噪声输入的有序系统。混沌运动的发生不需要无限数量的自由度，也不需要外部的扰动。由非常简单函数或微分方程决定的动态系统的未来状态，可以是混沌的。如果系统状态用状态空间上的点来表示的话，那么，相邻点简单地指数式分离而全局受限就产生混沌。”

    （3）“仅具有几个元素的简单确定性的系统能够产生随机行为。这种随机行为是本质上的，收集更多的信息并不能消除它。以这种方式产生的随机行为就称为混沌。”

    （4）“对于一个非保守动力学系统，如果在一个吸引子上的典型轨迹具有对初始条件的敏感依赖性，则就说该系统是混沌的。”

    （5）“混沌是没有周期性的序。”

    （6）“混沌是非周期性的、是具有渐进的自相似的有序现象。”

    2．通向混沌的途径

    （1）倍周期分岔进入混沌。系统运动变化的周期行为是一种有序行为，但在一定的条件下，系统经过周期加倍，会逐步丧失周期行为而进入混沌。

    （2）茹勒——泰肯道路通向混沌。物理学家彭伽勒早已发现，三体相互作用会进入混沌。茹勒和泰肯研究证明：当系统内有不同频率的振荡互相耦合时，系统就会出现新的耦合频率的运动，混沌状态可以看做有无穷多个频率耦合的振动现象。

    （3）阵发混沌。在非平衡非线性的条件下，某关键参数的变化达到一定的临界阈值时，系统就会出现时而有序、时而混沌的随机振荡，这种现象称阵发混沌。当参数超过临界值时，系统发展成完全的混沌。

    3．关于混沌吸引子

    混沌是来自动态系统的行为。一个动态系统由两部分组成：状态描述（关于系统的本质信息）和动力学机制（描述状态如何随时间演化的规则）。系统的动态演化过程可以在一个状态空间中表现出来。状态空间是一个由系统运动的自由度构成数轴的一种抽象空间。状态空间为描述混沌系统的行为提供了有力的工具，它用几何图形的方式表达了一个系统的动态行为。所谓吸引子，就是一个系统的动态行为最终停留下来或被吸引过来的状态，即在状态空间中刻划系统长期行为的几何形式。一个动态系统可以有几个或几种吸引子。系统从不同的初始条件出发，状态演化可以到达不同的吸引子。

    吸引子有平凡吸引子与奇异吸引子之分，奇异吸引子包括混沌吸引子和奇异非混沌吸引子。混沌吸引子有以下几个主要特征：

    （1）是一个相邻轨迹不断分离、又不断接近过程的产物。

    （2）混沌吸引子具有对初始条件的敏感依赖性和相对稳定性。

    （3）混沌吸引子具有内部精细的结构，即分形。

    非平衡非线性过程一旦进入混沌，会出现分数维数。维数是几何学及空间理论的概念。在几何学中，维数取整数。而混沌吸引子，往往具有非整数维数。对分数维数的研究，已发展出一门新学科，称为分形几何。系统进入混沌以后，原来的有序结构并不是完全抹掉了，而是形成无穷多的结构互相套叠。“一个组成部分以某种方式与整体相似的体系就叫分形”。

    三．波浪理论的混沌解释

    1．理想股市

    可以设想有这样一个股市存在：（1）是一个完全市场经济环境下的股票市场，即没有政策方面的干扰；（2）法制体系健全并得到彻底地贯彻执行，即不存在利用内幕消息、利用资金优势等人为地操纵市场的现象；（3）市场足够大。

    姑且命名为“理想股市”。理想股市是不带有任何噪声输入的。

    这样的一个系统是否是一个混沌系统呢？假设它成立，它的混沌吸引子又是什么呢？

    2．理想吸引子与吸引子集合

    在波浪理论中，一个完整的循环是8浪循环，5浪上升，3浪调整。这是一个理想中的模式，实际情况要复杂的多。艾略特也归纳出了总计13种基本模式，这13种基本模式按照一定的规则，整合出丰富多彩的实际走势。

    假设理想股市的运行是按照理想8浪模式迭代运行，那么这个理想8浪模式就是理想股市的混沌吸引子，称之为理想吸引子。

    但现实世界中的股市，不可避免地有噪声存在，尤其中国股市，素有“政策市”、“庄家市”之称。所以实际的股市只能看做是一个近似的混沌系统。

    因为各种噪声的存在，走势势必呈多样化。艾略特归纳出的多种变体模式组合，可以视为实际股市系统的混沌吸引子集合。也就是说股市存在多个吸引子。因为实际运行存在多种变数，这使得精确且准确地预测是不可能的。波浪理论给出了未来走势的几种可能，究竟哪种可能会成为现实，如何使预测更接近实际情况，这给波浪理论的使用者留出了发挥个人想像的空间。但这种个人的发挥还是应遵循波浪理论的基本原则。

    四．关于预测的话题

    任何一种股市的分析方法，包括基本分析、技术分析以及心理分析等等，都是对未来走势的预测。一般说来，预测是指根据事物的发展变化的过去和现在状态，对未来的发展变化作出性质上的推断和数量上的估计。处于混沌态的系统具有两大特征：系统行为具有对初始条件敏感依赖性和运动状态的分形性。关于对未来的预测，混沌理论只能回答将来可能会发生什么，而不能回答一定能发生什么。由于混沌系统本身所固有的非因果机制、蝴蝶效应、混沌分叉、复杂性增长等特性，使得精确的长期预测非常困难甚至于不可能，但是混沌吸引子是系统运动规律的一种体现，这为系统的预测提供了一条途径。

    混沌预测大致有三种方法：混沌动力学预测、唯象的混沌预测、混沌情景预测。其中，唯象的混沌预测是黑箱理论与混沌理论的结合。波浪理论的预测方法即是唯象学预测法。它是一种从现象到现象的预测方法，它通过现象看本质，以大量现象为依据，探讨事物发生和发展的规律。艾略特在对道琼斯平均指数走势的长期研究中，发现相同的现象一再重演，他分离出十三种价格运动模式，“他给各种模式一一命名，逐个定义，分别图解。他随后解释了它们是如何连接在一起，形成它们自身的更大的变体，以及它们是如何依次相连形成大一级的相同模式，依此类推，从而产生结构化的价格行进。艾略特称这种现象是波浪理论。”

    总结：实际的股票市场是有噪声输入的混沌系统，股票指数的运动形态具有分形的表征。股市有多个混沌吸引子存在。波浪理论采用的是唯象学预测方法，它所揭示的股市未来走势的多种可能，即是股市的混沌吸引子集合。其中，8浪循环模式是最重要的理想吸引子。

艾略特波浪基础--黄金比率和费波纳奇数列

一、斐波南希数列为波浪理论的结构基础

艾略特，波浪理论的开山祖师，在1934年公开发表波浪理论，指出股市走势依据一定的模式发展，涨落之间，各种波浪有节奏地重复出现，艾略特创立的波浪理论，属于一整套精细的分析工具，包括下列三个课题：1、波浪运行的形态；2、浪与浪之间的比率；3、时间星期。

艾略特在1946年发表的第二本著作，索性就命名为《大自然的规律》（Nature'sLaw）。波浪理论第二个重要课题，系浪与浪之间的比率，而该比率实际上跟随神奇数字系列发展。艾略特在《大自然的规律》一书中谈到，其波浪理论的数字基础是一系列的数列，是斐波南希在13世纪时所发现的，因此，此数列一般却称之谓斐波南希数列。

神奇数字系列本身属于一个极为简单的数字系列，但其间展现的各种特点，令人对大自然奥秘，感叹玄妙之余，更多一份敬佩。

其实早在中国《道德经》第四十三章中就道出了神奇数字系列的真谛：“道生一，一生二，二生三，三生万物。”神奇数字系列包括下列数字：

1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597……直至无限。

构成斐波南希神奇数字系列的基础非常简单，由1，2，3开始，产生无限数字系列，而3，实际上为1与2之和，以后出现的一系列数字，全部依照上述简单的原则，两个连续出现的相邻数字相加，等于一个后面的数字。例如3加5等于8，5加8等于13，8加13等于21，……直至无限。表面看来，此一数字系列很简单，但背后却隐藏着无穷的奥妙。这个数列被称为费波纳奇数列。这个数列有如下特性：

　　　（１）任何相列的两个数字之和都等于后一个数字，例如：

　　　　　　　　　　1＋1＝2；

　　　　　　　　　　2＋3＝5；

　　　　　　　　　　5＋8＝13；

　　　　　　　　　　144＋233＝377；

　　　　　　　　　　……

　　　（２）除了最前面３个数（１，２，３），任何一个数与后一个数的比率接近０．６１８，而且越往后，其比率越接近０．６１８：

　　　　　　　　　　3÷5＝0.6；

　　　　　　　　　　8÷13＝0.618；

　　　　　　　　　　21÷34＝0.618；

　　　　　　　　　　……

　　　（３）除了首３个数外，任何一个数与前一个数的比率，接近１．６１８。有趣的是，１．６１８的倒数是０．６１８。例如：

　　　　　　　　　　13÷8＝1.625；

　　　　　　　　　　21÷13＝1.615；

　　　　　　　　　　34÷21＝1.619；

　　　　　　　　　　……

二、平方的秘密

俄罗斯著名数学家韦罗斯利夫，曾经发表的神奇数字研究论文报告中，提示许多有关斐波南希神奇数字的神秘性，其中之一就是神奇数字平方的秘密。

1、由1开始，可能随意选取连续出现的相邻两神奇数字，数目可不限，先将这些神奇数字进行平方，然后将平方所得数字进行相加，其和必定等于最后一个神奇数字与接着出现的下一个神奇数字相乘。

2、除了上述出现的两个连续出现的神奇数字的平方具有的神奇的关系外，还具有两个相隔出现的神奇数字平方的神奇关系。其方法就是两相隔神奇数字的高位神奇数字的平方减去低位神奇数字的平方，两平方数字之差的结果必然属于另一个神奇数字。例：

5×5-2×2=218×8-3×3=5513×13-5×5=144……

由上述分析，读者不难理解，平方在波浪理论的定量分析上亦占有一定的地位。例如，全世界独一无二的惊世股票豫园商城从其100元的票面飚升至10000元之上，正巧是其起始价的平方值附近。是否我们可斗胆地说，沪市的起点是100附近，则未来等待它的目标10000点？！

三、神奇数字比率

波浪比波浪之间的比例，经常出现的数字，包括0.236,0.382,0.618以及1.618等，这些数字中的0.382和0.618我们亦称之为黄金分割比率。实际上，上述比率的来源，亦来自于神奇数字系列。

1、在斐波南希的神奇数字系列中，任取相邻两神奇数字，将低位的神奇数字比上高位的神奇数字，其计算的结果会逐渐接近于0.618，数值位愈高的数字，其比率会更接近于0.618。

2、在斐波南希的神奇数字系列中，任取相邻两神奇数字，若与上述相反，将高位的神奇数字比上低位的神奇数字，则其计算的结果会渐渐趋近于1.618。同理，数值位取得愈高，则此比率会愈接近于1.618.

3、若取相邻隔位两个神奇数字相除，则通过高位与低位两数字的交换，可分别得到接近于038.2及2.618的比率。

4、将0.382与0.618两个重要的神奇数字比率相乘则可得另一重要的神奇数字比率：0.382×0.618=0.236上述几个由神奇数字演变出来的重要比率：0.236,0.382,2.618以及0.5（其中0.236和0.618是著名的黄金分割比率）是波浪理论中预测未来的高点或低点的重要工具.

四、神奇数字与股价波浪

在波浪理论的范畴内，多头市况（牛市）阶段可以由一个上升浪代表，亦可以划分为五个小浪，或者进一步划分为二十一个次级浪甚至还可以继续细分出长至八十九个细浪，对于空头市况（熊市）阶段，则可以由一个大的下跌浪代表，同样对一个大的下跌浪可以划分为三个次级波段。或者可以进一步地再划分出十三个低一级的波浪甚至最后可看到五十五个细浪。

综上所述，我们可以不难理解地得出这样的结论，一个完整的升跌循环，可以划分为二、八、三十四或一百四十四个波浪。在此不难发现，上面出现的数目字，包括1、2、3、5、8、13、21、34、55、89及144，全部都属于神奇数字系列。

浪与浪之间的比率关系，亦经常受到斐波南希神奇数字组合比率的影响，下面我们介绍神奇比率与度量浪与浪之间的比例关系的具体运用：

1、对于推动浪来说，如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话，则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间，都将会趋向于一致。也就是说，当推动浪中的第三浪在走势中成为延伸浪时，则其他两个推动浪，第一浪与第五浪的升幅和运行时间将会大致趋于相同。假如并非完全相等。则极有可能以0.618的关系相互维系。

2、第五浪最终目标，可以根据第一浪浪底至第二浪浪顶距离来进行预估，他们之间的关系，通常亦包含有神奇数字组合比率的关系.

3、对于A-B-C三波段调整浪来说，C浪的最终目标值可能根据A浪的幅度来预估。C浪的长度，在实际走势中，会经常是A浪的1.618倍。当然我们也可以用下列公式预测C浪的下跌目标：A浪浪底减A浪乘0.618；（4）对于对称三角形的整理形态的波浪走势来看，在对称三角形内，每个浪的升跌幅度与其他浪的比率，通常以0.618的神奇比例互相维系。

所以，波浪理论与神奇数字，关系亲密。为使读者能较好地运用神奇数字对波浪的定量分析，下面列出与神奇数字比率及其派生出来的数字比率的特性：

（一）0.382：第四浪常见的回吐比率及部分第二浪的回吐百分比，B浪的回吐过程（ABC浪以之字形运行）；

（二）0.618：大部分第二浪的调整深度。对于ABC浪以之字形出现时，B浪的调整比率。第五浪的预期目标与0.618有关。三角形内的浪浪之音质比例由0.618来维系；

（三）0.5：0.5是0.382与0.618之间的中间数，作为神奇数比率的补充。对于ABC之字型调整浪，B浪的调整幅度经常会由0.5所维系。

（四）0.236：是由0.382与0.618两神奇数字比率相乘派生出来的比率值。有时会作为第三浪或第四浪的回吐比率，但一般较为少见，常常是在事后才如梦初醒，调整过程已经结束；

（五）1.236与1.382：对于ABC不规则的调整形态，我们可以利用B浪与A浪的关系，借助1.236与1.382两神奇比例数字来预估B浪的可能目标值；

（六）1.618：由于第三浪在三个推动浪中多数为最长一浪，以及大多数C浪极具破坏力。所以，我们可以利用1.618来维系第一浪与第三浪的比例关系和C浪与A浪的比例关系；

对于斐波南希神奇系列数字，读者已经了解到在波浪理论中，尤其在对波浪理论的定量分析中，起着极其重要的作用。其中0.382与0.618为常用的两个神奇数字比率。其使用频率较其它的比率要高得多。在使用上述神奇数字比率时，投资者和分析者若与波浪形态配合，再加上动力系统指标的协助，能较好地预估股价见顶见底的讯号。

另一方面，如果回吐幅度超过45%，则可以断言0.382的支撑或阻力作用已失去。

同样，当调整幅度起过70%时，亦表明0.618防线宣告失守。根据上述原则，投资者在具体操作时可以利用它来设置停损点。